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2éme Année Bac Sciences Mathématiques
2éme Année Bac Sciences Expérimentales
Exercices sur les fonctions réciproques avec solutions
Etude de la fonction Arctangente
Propriétés
Fonction Arctangente
Fonctions Racine énième
Fonctions Réciproques - l'essentiel
f est une fonction dont le domaine de définition est Df, I est un intervalle inclus dans Df.
Si f est continue sur I (surjective de I vers f(I)) et strictement monotone( strictement croissante ou strictement décroissante)
(injective de I vers f(I)) alors f est bijective, et elle admet une fonction réciproque de f(I) vers I.
on la note:
on a:
*La fonction réciproque d'une fonction continue sur I, est continue sur f(I).
* Une fonction strictement monotone et sa fonction réciproque
varient dans le même sens de variation.
*Les représentations graphiques d'une fonction et de sa fonction réciproque dans un repère orthonormé sont symétriques par la symétrie axiale d'axe la première bissectrice du repère: (y=x).
*Si une fonction f est dérivable en x0 et f'(x0) est non nul, alors sa réciproque est dérivable en y0 / y0=f(x0), et on a:
Définitions et Propriétés
Représentations graphiques d'une fonction et de sa réciproque
La fonction Arctangente est impaire:
pour y de ; x= tan(y) entraine y=arctan(x)
puisque tan(-y) = -tan(y) alors -y=arctan(-x) donc -arctan(x)=arctan(-x)
donc pour tout x de IR, arctan(-x)=-arctan(x).
La fonction Arctangente est impaire.
La fonction Arctangente est continue et strictement croissante:
Conséquences des théorèmes de la fonction réciproque, la fonction Arctangente est continue est strictement croissante sur IR puisque la fonction Tangente est continue et strictement croissante sur
La dérivée
En appliquant la dérivée de la fonction réciproque citée plus haut:
Attention:
tan(arctan(x))=x
Mais arctan(tan (x))=x , sauf si x appartient à
exemple:
Représentation graphique:
Résolution des équations :
