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2éme Année Bac Sciences Mathématiques
2éme Année Bac Sciences Expérimentales
f est une fonction continue sur [a;b] et monotone (ou f est dérivable et f' est bornée sur [a;b]) ,et Cf est sa courbe représentative dans un repère orthonormé,
l'aire du domaine limité par Cf , les droites d'équations (x=a) et (x=b) et l'axe des abscisses est :
On divise le ségment [a;b], en un nombre n de ségments de même longueur, ainsi on obtient une suite d'abscisses : x0, x1,.. ,xn on construit des réctangles de largeur constant (b-a)/n et de longueurs variables f(xi), comme l'exemple simple (voir ci-dessous)
si sn est la somme des aires des réctangles au dessous de la courbe Cf et Sn est la somme des aires des réclangles au dessus de la courble Cf alors
sn < <Sn
et on a:
les suites (sn) et (Sn) sont deux suites adjacentes et qui converge vers
Exercices
Techniques de l'integration
Détermination d'une Primitive d'une fonction
Fonctions primitives et Calcul des intégrales l'essentiel
Définition:
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, on dit que F est une fonction primitive de f sur I,si F est une fonction définie et dérivable sur I et pour tout x de I on a :F'(x)=f(x) .
Propriétés :
*Toute fonction f continue sur I, admet une infinité de fonctions primitives sur I, et elles différent par un constante:
Si F est une primitive de f sur I alors F+k est une primitive de f sur I, où k est une constante réelle.
*Si F et G sont réspectivement des primitives de f et g sur un intervalle I, alors F+G est une primitive de f+g sur I et kF est une primitive de kf sur I.
Fonctions primitives
Interprétation géométrique de l'intégrale
Calcul des intégrales
Pour déterminer une fonction primitive d'une fonction usuelle , en général on utilise le tableau des dérivée.
Fonctions usuelles:
f est une fonction, et F est primitive de f.
a,b et c sont des réels et n un entier non nul.
Primitives qui utilisent les fonctions composées:
u est une fonction dérivable sur un intervalle I
n est un entier non nul, r est nombre rationnel non nul, et c est une constante réelle.
Conséquences:
Définition: f est une fonction continue sur un lintervalle I, et F est l'une des primitives parmi les primitives de f sur I, a et b sont deux éléments de I, on appelle intégrale définie de f entre a et b le nombre réel F(b)-F(a) qui ne dépend pas du choix de la primitive F, et on le note:
l'intégrale indéfinie de f, représente toutes les primitives de f , on note si F est une primitive:
L'intégration par parties:
u et v sont deux fonctions dérivables sur [a;b] et u' et v' sont continues sur [a;b]
(u.v)' = u'.v +v'.u
u'.v =(u.v)'-uv' ou (uv'=(uv)'-u'.v)
L'intégration par changement de variable:
g est une fonction dérivable sur[a;b] telle que g' est continue sur [a;b] et f continue sur g([a;b])
nous voulons calculer l'integrale :
Nous procédons par changemet de variable:
on pose t=g(x) donc dt=g'(x)dx , puisque x est entre a et b
alors t est entre g(a) et g(b), donc on aura:
voir les exemples de l'intégration par partie et par changement de variables:
voir un document sur les différentes techniques utilisées de l'intégration avec des exemples:
f est une fonction continue sur un intervale [a;b] et ( Cf) sa représentation graphique dans un repère orthogonal, l'aire algébrique de la surface du domaine limité par l'axe des abscisses (Ox) , les droites d'équations (x=a) et (x=b) et la courbe ( Cf) est le nombre:
l'aire algébrique peut-être positive ou négative.
l'aire géométrique est toujours positive , et elle est égale à :
f et g sont deux fonctions continues sur [a;b], l'aire de la surface du domaine limité par les droites d'équations (x=a) et (x=b) et les courbes (Cf) et (Cg) respéctivement de f et g est:
Suites convergentes vers une intégrale
Propriétés:
Fonction définie par une intégrale
Soit f une fonction intégrable sur un intervalle I , et a est un élément de I, la fonction F définie de I vers IR par :
est continue sur I , est dérivable en tout point x0 ∈ I où f est continue et F'(x0) = f (x0).
Théorème:
Propriétés:
* F(a)=0
* F(b) est une constante pour b une constante de I.
* sur un intervalle fermé contenu dans I qui contient a:
** si (x-a).f > 0 alors F>0
** si (x-a).f < 0 alors F<0
* Si f est continue alors F est continue et dérivable
* Si f est dérivable alors F' est continue et dérivable.
Autres Propriétés:
* si f (x) = 0 alors F a tangente horizontale
* si f (x) > 0 alors F est croissante
* si f (x) < 0 alors F est décroissante
* si f (c) = 0 et f (x) > 0 alors c est un minimum pour F
* si f (c) = 0 et f (x) < 0 alors c est un maximum pour F
Proposition:
u est une fonction dérivable sur un intervalle I de IR,et f est une fonction intégrable sur u(I), et a est un élément de u(I) , alors la fonction G définie par :
