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Dérivabilité - Résumé du cours

Définitions

Définitions:

1)Fonction continue en x0 :
Soit f une fonction numérique, f est définie dans un intervalle ouvert de centre x0 ,on dit que f estdérivable en x0 si et seulement si: avec l est un réel.

on écrit :f'(x0) = l

Ecriture différentielle:

dy = f'(x)dx avec y= f(x)

2) Fonction dérivable sur un intervalle I : on dit qu'une fonction f est dérivable sur I si et seulement si pour tout x0 appartenant à I, f est dérivable en x0.

Exercices :

Solutions proposées des exercices:

Dérivabilité à droite dérivabilité à gauche d'un point

Théorème de Rolle Théorème des accroissements finis

Définitions:

1)Fonction dérivable à gauche de x0 :
on dit que f est dérivable à gauche de : x0 si et seulement si:

2)Fonction dérivable à droite de x0 :

on dit que f est dérivable à gauche de x0 si et seulement si:

Si l=l' on dit que f est dérivable en x0 sinon il n'est pas dérivable en x0

Dérivabilité sur un intervalle [a;b]

Tableau des dérivées des fonctions uselles

Définitions:
on dit que f est dérivable sur l'intervalle [a;b] s'il est dérivable sur l'intervalle ouvert ]a;b[ et elle dérivableà droite de a et dérivable à gauche de b.

Thorème de Rolle:

Si une fonction numérique f continue sur un [a;b] fermé de IR et elle est dérivable sur ]a;b[ ouvert et f(a)= f(b)
alors il existe c de ]a;b[ telle que f '(c)=0

Théorème des accroissements finis :
Si une fonction numérique f continue sur un [a;b] fermé de IR et elle est dérivable sur ]a;b[ ouvert alors il existe c de ]a;b[ telle que=0 et f(b)-f(a)= (b-a).f '(c)

Continuité et dérivabilité

théoréme:

si une fonction f est dérible en x0 alors f est continue en x0

La réciproque est fausse.

-La somme, le produit et le quotient (sous réserve que le dominateur est non nul) de deux fonctions dérivables en un point x0 est une fonction dérivable en x0.

le produit d'une fonction dérivable en x0 par un scalaire, est une fonction dérivable en x0.

-si f est définie sur un intervalle I et g sur un intervalle J et J contient f(I) et si f est dérivable en x0 et g est dérivable en f(x0) alors gof estdérivable en x0 et (gof)'(x0)= g'(f(x0)).f '(x0)