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Continuité - Résumé du cours

Définitions

Définitions:

1)Fonction continue en x0 :
Soit f une fonction numérique, f est définie dans un intervalle ouvert de centre x0 ,on dit que f est continue en x0 si elle admet une limite en x0 et que cette limite est f(x0).

 

2) Fonction continue sur un intervalle I : on dit qu'une fonction f est continue sur I si et seulement si pour tout x0 appartenant à I f est continue en x0.

Exercices :
Solutions proposées des exercices:
 
 
 
 
 
Exercices :
Exercices sur la continuité et les valeurs intermédiaires:
 
 
 
 
 
 
 
Continuité à droite continuité à gauche d'un point
Théorème des valeurs intermédiaires

Définitions:

1)Fonction continue à gauche de x0 :
on dit que f est continue à gauche de  x0 si elle admet une limite à gauche de  x0 et que cette limite est f(x0).

 

2)Fonction continue à droite de x0 :

on dit que f est continue à droite de  x0 si elle admet une limite à gauche de  x0 et que cette limite est f(x0).

Continuité sur  un intervalle [a;b]
Exercices avec solutions

Définitions:
on dit que f est continue sur l'intervalle [a;b] s'il est continue sur l'intervalle ouvert ]a;b[ et elle continue à droite de a et continue à gauche de b.

Thorème:

Si une fonction numérique f continue sur un [a;b] de IR
alors pour tout nombre réel k / f(a)<k< f(b), il existe au moins un réel c/: a <c< b tel que f(c) = k.

Conséquence :
Si une fonction numérique f  continue sur [a;b] et si
f(a) . f(b) <0 alors l'équation f(x)=0 admet au moins une solution c de ]a ;b[ .

si en plus f est strictement monotone sur [a;b] la solution c est unique et la solution est comprise entre f(a) et f(b).

Propriétés sur les intervalles de IR:

-l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

L'image d'un segment [a;b] par une fonction continue est un segment

     Si f est continue sur [a;b], alors il existe a' et b' de [a;b] : m=inf(x)=f(b') et M=supf(x)=f(a') avec x de [a;b]

   Opérations sur les fonctions continues

-La somme, le produit et le quotient (sous réserve que le dominateur est non nul) de deux fonctions continues en un point x0 est une fonction continue en x0.

le produit d'une fonction continue en x0 par un scalaire, est une fonction continue en x0.

-si f est continue en x0 et g est continue en f(x0) alors gof est continue en x0

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